Question

給出下列四個命題，其中正確命題序號是

 

．
①若b²=ac，則b是a，c的等比中項．
②數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則{a_n}是常數(shù)列．
③若數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2×3n-2，則{a_n}是等比數(shù)列．
④若a，b，c成等比數(shù)列，則lga，lgb，lgc成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：逐個驗證：①舉反例a=b=c=0；④舉反例a=-1，b=-2，c=-4，②設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，又{a_n}為等比數(shù)列，故（a₁+d）²=a₁（a₁+2d），解得d=0，可得數(shù)列為常數(shù)列；③由a_n與S_n的關(guān)系可得a_n=4×3^n-1，由等比數(shù)列的定義可得．

解答：解：逐個驗證：①取a=b=c=0，顯然滿足b²=ac，但不滿足b是a，c的等比中項，故錯誤；
②設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，又{a_n}為等比數(shù)列，故（a₁+d）²=a₁（a₁+2d），解得d=0，故{a_n}是常數(shù)列，正確；
③當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2×3ⁿ-2）-（2×3^n-1-2）=4×3^n-1，當n=1時，a₁=S1=2×31-2=4，顯然也滿足，
故a_n=4×3^n-1，滿足

an+1

an

=

4×3n

4×3n-1

=3，故{a_n}是等比數(shù)列，正確；
④不妨取a=-1，b=-2，c=-4，顯然滿足a，b，c成等比數(shù)列，不滿足lga，lgb，lgc成等差數(shù)列，故錯誤．
故答案為：②③

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．