Question

給出下列命題：
①若f（x）=2x³+3的反函數(shù)為f^-1（x），則f^-1（5）=1；
②過原點(diǎn)作圓x²+y²-12x+9=0的兩切線，則兩切線所夾的劣弧長(zhǎng)為2

3

π；
③在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，則B有一解且B=arcsin

3

5

；
④在樣本頻率分布直方圖中，共有三個(gè)長(zhǎng)方形，其面積由小到大構(gòu)成等差數(shù)列{a_n}，且a₂+a₃=0.8，則最大的長(zhǎng)方形的面積為

7

15

其中正確命題的序號(hào)為

①④

．

Answer 1

分析：根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系得到①正確，根據(jù)弧長(zhǎng)的運(yùn)算得到②不正確，根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷得到③不正確，根據(jù)頻率分布直方圖得到④正確．

解答：解：若f（x）=2x³+3的反函數(shù)為f^-1（x），則f^-1（5）=1；把1代入原函數(shù)得到函數(shù)值時(shí)5，故①正確，
過原點(diǎn)作圓x²+y²-12x+9=0的兩切線，
過圓心做切線的垂線，根據(jù)組成的直角三角形三邊之間的關(guān)系，得到兩條切線所夾的角是60°，
根據(jù)原定周長(zhǎng)乘以

1

6

，弧長(zhǎng)是

1

6

×2×π×3

3

=

3

π，故②不正確，
則兩切線所夾的劣弧長(zhǎng)為2

3

π；
在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，
∵6＞5＞6×sin30°
則B有兩解，故③不正確，
在樣本頻率分布直方圖中，共有三個(gè)長(zhǎng)方形，其面積由小到大構(gòu)成等差數(shù)列{a_n}，
且a₂+a₃=0.8，a₁=0.2，d=

4

30

，則最大的長(zhǎng)方形的面積為0.2+

8

30

=

7

15

，故④正確，
綜上可知①④正確，
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，特別注意對(duì)于解三角形的考查和對(duì)于弧長(zhǎng)的考查，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于所給的四個(gè)命題逐一的判斷，本題是一個(gè)中檔題目．