Question

若橢圓的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為：2．（1）過點C（-1,0）且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點A、B，若，則當△OAB的面積最大時，求橢圓的方程。
（2）設(shè)M，N為橢圓上的兩個動點，，過原點O作直線MN的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程．

Answer 1

（1） （2）

試題分析：（1），設(shè)橢圓的方程為
依題意，直線的方程為：
由
設(shè)

                

當且僅當
此時       
（2）設(shè)點的坐標為．
當時，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．
點的坐標滿足方程組
得，整理得，
于是，．

．
由知．，
將代入上式，整理得．
當時，直線的方程為，的坐標滿足方程組
所以，．
由知，即，
解得．          
這時，點的坐標仍滿足．
綜上，點的軌跡方程為　
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．