Question

（本小題滿分13分）
設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”.
(1)判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；
(2)若集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：“若的定義域為D，則對于任意，都存在，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根；
(3)設(shè)是方程的實數(shù)根，求證：對于定義域中的任意的，當(dāng)且時，．

Answer 1

解：(1)易證函數(shù)滿足條件①②，因此.……………4分
(2)假設(shè)存在兩個實根，則，,
不妨設(shè)，由題知存在實數(shù)，使得成立.
∵，且，∴與已知矛盾，
所以方程只有一個實數(shù)根；……………8分
(3) 不妨設(shè)，∵，∴為增函數(shù)，∴，
又∵,∴函數(shù)為減函數(shù)，∴，
∴，即，
∴

解析