Question

【題目】已知拋物線L：（）的焦點為F，過點的動直線l與拋物線L交于A，B兩點，直線交拋物線L于另一點C，直線的最小值為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點A作y軸的垂線m，則x軸上是否存在一點，使得直線PB與直線m的交點恒在一條定直線上？若存在，求該點的坐標及該定直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，，.

【解析】

（1）顯然當軸時，取得最小值，可得，即可得到所求拋物線方程；

（2）假設(shè)軸上存在一點，，使得直線與直線的交點恒在一條定直線上．設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理，由的方程和直線的方程，聯(lián)立求得交點，化簡可得所求定點和定直線．

（1）設(shè)直線的傾斜角為，

所以由拋物線（）的焦點弦公式得，

所以當，即當軸時，取得最小值.

把代入可得，

故，，

可得拋物線的方程為：．

（2）假設(shè)軸上存在一點，，使得直線與直線的交點恒在一條定直線上．

設(shè)，，，，直線的方程為，

聯(lián)立拋物線方程，可得，

，，

直線的方程為即，

聯(lián)立直線，

可得，

由，，可得，，

即有，

由假設(shè)可得，

即，此時，

可得存在定點，定直線為．