Question

已知常數(shù)a、b都是正整數(shù)，函數(shù)f(x)=

x

bx+1

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a=8b，且等比數(shù)列{b_n}同時(shí)滿(mǎn)足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②數(shù)列{b_n}的每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中的某一項(xiàng)．試判斷數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列或是無(wú)窮數(shù)列，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；
（3）對(duì)問(wèn)題（2）繼續(xù)探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常數(shù)），當(dāng)m取何正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}是有窮數(shù)列；當(dāng)m取何正整數(shù)時(shí)，數(shù)列{b_n}是無(wú)窮數(shù)列，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由

1

an+1

=f(

1

an

)=

1 an

b 1 an +1

=

1

an+b

可得a_n+1=a_n+b，，從而可證數(shù)列{a_n}是以b為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求通項(xiàng)
（2）當(dāng)a=8b時(shí)，可得a_n=（n+7）b，則b₁=8b，b₂=12b，則有q=

3

2

，可求bn=8b•(

3

2

)n-1，由b₃=18b，b₄=27b，b5=

81

2

b可得b₅∉{a_n
從而可判斷
（3）由b₂=（m+7）b，可得q=

m+7

8

，此時(shí)bn=8(

m+7

8

)n-1b
分別就進(jìn)行討論（i）當(dāng)m=8k+1（k∈N）時(shí)，

m+7

8

=k+1為正整數(shù)，（ii）當(dāng)m=8k+5（k∈N）時(shí)，

m+7

8

=

2k+3

2

（iii）當(dāng)m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）

解答：解：（1）∵

1

an+1

=f(

1

an

)=

1 an

b 1 an +1

=

1

an+b

∴a_n+1=a_n+b，∴數(shù)列{a_n}是以b為公差的等差數(shù)列
∵a₁=a，∴a_n=a+（n-1）b
（2）當(dāng)a=8b時(shí)，a_n=（n+7）b
∴b₁=8b，b₂=12b，∴q=

3

2

，∴bn=8b•(

3

2

)n-1
∴b₃=18b，b₄=27b，b5=

81

2

b
顯然，

81

2

不是整數(shù)，即b₅∉{a_n}，∴{b_n}是項(xiàng)數(shù)最多為4的有窮數(shù)列
（3）∵b₂=（m+7）b，∴q=

m+7

8

，此時(shí)bn=8(

m+7

8

)n-1b
i）當(dāng)m=8k+1（k∈N）時(shí)，

m+7

8

=k+1為正整數(shù)，
此時(shí){b_n}中每一項(xiàng)均為{a_n}中的項(xiàng)，∴{b_n}為無(wú)窮數(shù)列；
ii）當(dāng)m=8k+5（k∈N）時(shí)，

m+7

8

=

2k+3

2

此時(shí)當(dāng)n=1，2，3，4，8(

2k+3

2

)n-1為大于8的正整數(shù)，
但n=5時(shí)，8(

2k+3

2

)4不是正整數(shù)，∴此時(shí){b_n}是項(xiàng)數(shù)最多為4的有窮數(shù)列；
iii）當(dāng)m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）時(shí)，
此時(shí)

m+7

8

為分母是4或8的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，
只有當(dāng)n=1，2時(shí)，8(

2k+3

2

)n-1才是大于8的正整數(shù)，
而當(dāng)n≥3時(shí)，8(

2k+3

2

)n-1均為分?jǐn)?shù)，∵{b_n}僅有兩項(xiàng)，∴此時(shí){b_n}不能構(gòu)成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的及等比的項(xiàng)公式及數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是考試具備一定的邏輯推理與計(jì)算的能力．