Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，總有成立，求整數(shù)t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）極大值為-7，的極小值為. （2）最大值為.

【解析】

（1）通過求出的導(dǎo)數(shù)，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得極值；

（2）對(duì)求導(dǎo)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，可得在上有兩個(gè)不等的正實(shí)根，由韋達(dá)定理可得，再將代入可得恒成立，，求導(dǎo)，求出 的最小值即可.

解：（1），

故在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

從而的極大值為，的極小值為；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

有兩個(gè)極值點(diǎn)，，

則在上有兩個(gè)不等的正實(shí)根，

由，可得，

由題，有，即恒成立，

令，，

設(shè)，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增且當(dāng)時(shí)，，又，

故存在，使得，即，，

所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

故，

故，，

所以t的最大值為.