Question

設a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），討論F（x）在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；
（Ⅱ）求證：當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)求導法求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間及極值即可．
（2）欲證x＞ln²x-2a ln x+1，即證x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要證f（x）＞f（1），根據(jù)第一問的單調(diào)性即可證得．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)求導法則有f′(x)=1-

2lnx

x

+

2a

x

，x＞0，
故F（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x＞0，
于是F′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

，x＞0，
∴知F（x）在（0，2）內(nèi)是減函數(shù)，在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
所以，在x=2處取得極小值F（2）=2-2ln2+2a．
（Ⅱ）證明：由a≥0知，F(xiàn)（x）的極小值F（2）=2-2ln2+2a＞0．
于是知，對一切x∈（0，+∞），恒有F（x）=xf'（x）＞0．
從而當x＞0時，恒有f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)增加．
所以當x＞1時，f（x）＞f（1）=0，即x-1-ln²x+2alnx＞0．
故當x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

點評：本題主要考查學生綜合運用導數(shù)知識分析問題、解決問題的能力，本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，單調(diào)性，不等式等基礎知識．