Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，∠B=∠C=90°，AB=3CD，∠PBC=30°，點(diǎn)M是PB上的動(dòng)點(diǎn)，且（λ∈[0，1]）．
（1）當(dāng)時(shí)，證明CM∥平面PAD；
（2）當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時(shí)，求λ的值．

Answer 1

解：（1）過(guò)M作MN∥AB于交PA于N，連接DN
∵△PAB中，PM：PB=1：3
∴MN：AB=1：3，得MN=AB
∵M(jìn)N∥AB，AB∥CD，∴MN∥CD
∵M(jìn)N=AB=CD，∴四邊形CDNM是平行四邊形，可得CM∥DN
∵CM?平面PAD，DN⊆平面PAD，
∴CM∥平面PAD；
（2）∵PC⊥底面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AB⊥PC
又∵AB⊥BC，PC、BC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴AB⊥平面PBC
∵CM⊆平面PBC，∴CM⊥AB，
因此，當(dāng)CM⊥PB時(shí)，可得CM⊥平面PAB，再結(jié)合CM⊆平面MCD，可得平面MCD⊥平面PAB．
∵Rt△PCB中，∠PBC=30°，∴PB=2PC
而Rt△PMC中，∠PCM=30°，所以PM=PC=PB，得=
∴當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時(shí)，λ的值為
分析：（1）利用平行線分線段成比例定理，結(jié)合平行線的傳遞性，可證出MN與CD平行且相等，從而得到四邊形CDNM是平行四邊形，可得CM∥DN，最后根據(jù)線面平行的判定定理，證出CM∥平面PAD；
（2）由線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出CM⊥平面PAB，從而得到當(dāng)CM⊥PB時(shí)，有平面MCD⊥平面PAB．再在Rt△PCB和Rt△PMC中，利用含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，算出PM=PB，得到當(dāng)平面MCD⊥平面PAB時(shí)，λ的值為．
點(diǎn)評(píng)：本題給出底面為直角梯形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，求證線面平面并且討論了面面垂直，著重考查了空間線面平面的判定和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．