Question

(文)  已知橢圓的離心率為，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心、橢圓C₁的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓O相切．（1）求橢圓C₁的方程；（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過點(diǎn)F₁，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直于l₁，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程； （3）過橢圓C₁的左頂點(diǎn)A做直線m，與圓O相交于兩點(diǎn)R、S，若是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

  （1）（2）

解析:

：（1）由                             （2分）

    由直線

所以橢圓的方程是  （4分）

   （2）由條件，知|MF₂|=|MP|．即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F₂的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義得點(diǎn)M的軌跡C₂的方程是．（8分）

   （3）由（1），得圓O的方程是

設(shè)得    （10分）

則

由 ①�。�12分）

因?yàn)?img border=0 width=425 height=27 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/112/362912.gif">

所以  　 ②�。�13分）由A、R、S三點(diǎn)不共線，知．　③

由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是（14分）

（注：其它解法相應(yīng)給分）．