Question

本小題滿分12分）
已知函數(shù)是偶函數(shù).
(I)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)；
(II)若方程有且只有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（I）由函數(shù)是偶函數(shù)可得：


即對(duì)一切恒成立，
……………………………3分
由題意可知，只要證明函數(shù)在定義域上為單調(diào)函數(shù)即可.
任取且，則…………5分
，即，
……………6分
函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù).
對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與直線最多只有一個(gè)交點(diǎn).………7分
（II）若方程有且只有一解，
也就是方程有且只有一個(gè)實(shí)根，
令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程：有且只有一個(gè)正根.………8分
（1）  若，則，不合題意；…………9分
（2）  若時(shí)，由或，當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，；……………10分
（3）  若時(shí)，，若方程一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根時(shí)，則.
………11分
綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.……………12分

解析