Question

設函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。

(2)若關于的方程有三個不同實根，求實數(shù)的取值范圍；

(3)已知當(1，＋∞)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－，)．當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；當x＝時，f(x)有極小值5－4. 

（2）－4<a<5＋4

（3）k≤－3

【解析】

試題分析：(1) 解：f′(x)＝3x²－6，令f′(x)＝0，解得x₁＝－，x₂＝.

因為當x>或x<－時，f′(x)>0；當－<x<時，f′(x)<0.

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)和(，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間為(－，)．

當x＝－時，f(x)有極大值5＋4；

當x＝時，f(x)有極小值5－4.                           ---————-3分

(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當5－4<a<5＋4時，直線y＝a與y＝f(x)的圖象有三個不同交點，即方程f(x)＝a有三個不同的       6分

(3) 解：f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x²＋x－5)≥k(x－1)．

因為x>1，所以k≤x²＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x²＋x－5，此函數(shù)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．

所以g(x)>g(1)＝－3.

所以k的取值范圍是k≤－3.               10分

考點：導數(shù)的運用

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值的方法，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象解決根的個數(shù)問題的方法，不等式恒成立問題的解法