Question

已知函數(shù)f(x)=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)x∈[-

π

3

， 

π

3

]，求f（x）的值域和單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由T=

2π

w

可求得最小正周期．
（Ⅱ）先根據(jù)x的范圍求得2x+

π

3

的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)f（x）的值域，然后令

π

2

≤2x+

π

3

≤π求得x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）在x∈[-

π

3

， 

π

3

]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=-

3

(cos2x-sin2x)-2sinxcosx
=-

3

cos2x-sin2x=-2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

3

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．∴f（x）的值域?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-2， 

3

]．
∵當(dāng)y=sin(2x+

π

3

)遞減時(shí)，f（x）遞增
．∴

π

2

≤2x+

π

3

≤π，即

π

12

≤x≤

π

3

．
故f（x）的遞增區(qū)間為[

π

12

，

π

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式和兩角和與差的公式的應(yīng)用，考查對(duì)正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性的應(yīng)用．高考對(duì)三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，平時(shí)要注意對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的積累．