Question

已知函數(shù)，函數(shù)f（x）是函數(shù)g（x）的導函數(shù)．
（1）若a=1，求g（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在第（2）問求出的實數(shù)a的范圍內(nèi)，若存在一個與a有關的負數(shù)M，使得對任意x∈[M，0]時|f（x）|≤4恒成立，求M的最小值及相應的a值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
（2）先用函數(shù)f（x）的表達式表示出來，再進行化簡得-（x₁-x₂）²＜0，由此式即可求得實數(shù)a的取值范圍；
（3）本小題可以從a的范圍入手，考慮0＜a＜2與a≥2兩種情況，結合二次的象與性質(zhì)，綜合運用分類討論思想與數(shù)形結合思想求解．
解答：解：（1）當a=1時，g（x）=x³+2x²-2x，g′（x）=x²+4x-2 …（1分）
由g′（x）＜0解得-2-＜x＜-2+        …（2分）
∴當a=1時函數(shù)g（x）的單調(diào)減區(qū)間為 （-2-，2+）；…（3分）
（2）易知f（x）=g′（x）=x²+4x-2
依題意知  =a（）²+4×-2-
=-（x₁-x₂）²＜0 …（5分）
因為x₁≠x₂，所以a＞0，即實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）；…（6分）
（3）易知f（x）=ax²+4x-2=a（x+）²-2-，a＞0．
顯然f（0）=-2，由（2）知拋物線的對稱軸x=-＜0    …（7分）
①當-2-＜-4即0＜a＜2時，M∈（-，0）且f（M）=-4
令ax²+4x-2=-4解得  x=        …（8分）
此時M取較大的根，即M==…（9分）
∵0＜a＜2，∴M==＞-1     …（10分）
②當-2-≥-4即a≥2時，M＜-且f（M）=4
令ax²+4x-2=4解得 x=            …（11分）
此時M取較小的根，即 M==…（12分）
∵a≥2，∴M==≥-3當且僅當a=2時取等號  …（13分）
由于-3＜-1，所以當a=2時，M取得最小值-3  …（14分）
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．