Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求T_n；
（3）若數(shù)列Pn=

4

3

•(2n-1)(n∈N*)，甲同學(xué)利用第（2）問中的T_n，試圖確定T_n-P_n的值是否可以等于20？為此，他設(shè)計(jì)了一個(gè)程序（如圖），但乙同學(xué)認(rèn)為這個(gè)程序如果被執(zhí)行會是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會永遠(yuǎn)循環(huán)下去，而無法結(jié)束），你是否同意乙同學(xué)的觀點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知a₁=2，2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，由a_n＞0，知a_n-a_n-1=1由此能求出a_n．
（2）由題設(shè)知b_n=2ⁿ（n∈N^*）．n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）=

(a1+an-1)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．
（3）由程序可知，n為偶數(shù)，T_n=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)，Pn=

4

3

(2n-1)，設(shè)d_n=A-B=T_n-P_n=

n2+2n

4

，n=8時(shí)，T_n-P_n=20成立，程序停止．乙同學(xué)的觀點(diǎn)錯(cuò)誤．

解答：解：（1）n=1，2（S₁+1）=a₁²+a₁?a₁=2．（2分）

n≥2，2(Sn+1)=an2+an 2(Sn-1+1)=an-12+an-1

，
兩式相減，得2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．（4分）
?{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1
∴a_n=n+1（n∈N^*）．（5分）
（2）∵{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）．（7分）
n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）．（8分）
=

(a1+an-1)• n 2

2

+

4(1-4 n 2 )

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．（10分）
（3）由程序可知，n為偶數(shù)，
∴T_n=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)，Pn=

4

3

(2n-1)
設(shè)d_n=A-B=T_n-P_n=

n2+2n

4

．（13分）
∵n=8時(shí)，

n2+2n

4

=20，且n為偶數(shù)
∴n=8時(shí)，T_n-P_n=20成立，程序停止．（14分）
∴乙同學(xué)的觀點(diǎn)錯(cuò)誤．（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法，以程序圖為載體考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．