Question

已知拋物線y²=4x，橢圓經(jīng)過點(diǎn)M(0，

3

)，它們在x軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)T的坐標(biāo)為（t，0）（t是已知正實(shí)數(shù)），求P與T之間的最短距離．

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出橢圓方程，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出b，a，即可求橢圓的方程；
（2）先利用設(shè)P（x，y），則|PT|═

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2），再對(duì)t的取值進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，②當(dāng)t＞

1

2

時(shí)，x=2，求得P與T之間的最短距離即可．

解答：解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為（1，0）…（2分）
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a2-b2=1，b=

3

…（4分）
∴a²=4，b²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（6分）
（2）設(shè)P（x，y），則|PT|=

(x-t)2+y2

=

(x-t)2+3(1- x2 4 )

=

(x-4t)2+12-12t2 4

（-2≤x≤2）…（8分）
①當(dāng)0＜t≤

1

2

時(shí)，x=4t，即P(4t，±

3-3t2

)時(shí)，|PT|min=

3-3t2

；
②當(dāng)t＞

1

2

時(shí)，x=2，即P（2，0）9時(shí)，|PT|_min=|t-2|10；
綜上，|PT|min=

3-3t2 ，0＜t≤ 1 2 |t-2|，t＞ 1 2

…（14分）
（注：也可設(shè)P(2cosθ，

3

sinθ)(0＜θ≤2π)解答，參照以上解答相應(yīng)評(píng)分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．第一問涉及到了求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，在求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一定注意先把拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再求解，避免出錯(cuò)．