Question

已知雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為

5

3

c（c為雙曲線的半焦距長），則雙曲線的離心率為

3

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程可得它的漸近線方程為bx±ay=0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0）．利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合已知條件列式，可得b=

5

3

c，再用平方關(guān)系可算出a=

2

3

c，最后利用雙曲線離心率的公式，可以計(jì)算出該雙曲線的離心率．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為bx±ay=0，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±c，0），其中c=

a2+b2

∴一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為d=

|±bc|

a2+b2

=

5

3

c，即b=

5

3

c，
因此，a=

c2-b2

=

2

3

c，由此可得雙曲線的離心率為e=

c

a

=

3

2

故答案為：

3

2

點(diǎn)評：本題給出雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離與焦距的關(guān)系，求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．