Question

（文）已知函數(shù)f（x）=x²（x-a）．
（1）若f（x）在（2，3）上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在（2，3）上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)為0的x值是0和

2a

3

根據(jù)f（x）在（2，3）上單調(diào)，則說明其中的一個根

2a

3

不在（2，3）內(nèi)，由此列不等式可解實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）f（x）在（2，3）上不單調(diào)，說明其中的一個根

2a

3

在（2，3）內(nèi)，由此列不等式可解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：由f（x）=x³-ax²，得f′（x）=3x²-2ax=3x（x-

2a

3

）．
（1）若f（x）在（2，3）上單調(diào)，則

2a

3

≤2，或

2a

3

≥3，解得：a≤3，或a≥

9

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]∪[

9

2

，+∞）．
（2）若f（x）在（2，3）上不單調(diào)，則有2＜

2a

3

＜3，解得：3＜a＜

9

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，

9

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，說明其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無解，若一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)不單調(diào)的條件是導(dǎo)函數(shù)有不等根且至少有一根在該區(qū)間內(nèi)，此題是中檔題．