Question

如圖所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，點M是棱BB₁上一點．
（1）求證：B₁D₁∥面A₁BD；
（2）求證：MD⊥AC；
（3）試確定點M的位置，使得平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．

Answer 1

解：（1）證明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁，所以BB₁D₁D是平行四邊形，
所以B₁D₁∥BD．
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
所以B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）證明：因為BB₁⊥面ABCD，AC?面ABCD，所以BB₁⊥AC，
又因為BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，
所以AC⊥面BB₁D，
而MD?面BB₁D，所以MD⊥AC．
（3）當點M為棱BB₁的中點時，平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D
取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，連接OM．
因為N是DC中點，BD=BC，所以BN⊥DC；又因為DC是面ABCD與面DCC₁D₁的交線，而面ABCD⊥面DCC₁D₁，
所以BN⊥面DCC₁D₁．
又可證得，O是NN₁的中點，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以O(shè)M⊥平面CC₁D₁D，因為OM?面DMC₁，所以平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．
分析：（1）在平面A₁BD內(nèi)找到和B₁D₁平行的直線BD即可．利用線線平行來推線面平行．
（2）先利用條件BB₁⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB₁D，再證明MD⊥AC即可．
（3）因為棱BB₁上最特殊的點是中點，所以先看中點．取DC的中點N，D₁C₁的中點N₁，連接NN₁交DC₁于O，?BN⊥DC?面ABCD⊥面DCC₁D₁，
?BN⊥面DCC₁D₁．而又可證得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC₁D₁D?平面DMC₁⊥平面CC₁D₁D．
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直．