Question

（本題滿分14分）

(文)如圖，|AB|=2，O為AB中點，直線過B且垂直于AB，過A的動直線與交于點C，點M在線段AC上，滿足=.

（I）求點M的軌跡方程；

（II）若過B點且斜率為- 的直線與軌跡M交于點P，點Q(t,0)是x軸上任意一點，求當ΔBPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) x²+4y²=1(y≠0)； (2) - <t<0。

【解析】（1）設M(x,y)，C(1,y₀)，然后再此條件=坐標化可得=,

再根據(jù)A、M、C三點一線，∴=,然后兩式聯(lián)立消去y₀,即可得到點M的軌跡方程.要注意.

(2)用向量判定是銳角的條件·>0,并且和不共線，然后用坐標表示出來，即可得到t的取值范圍.

 (1)設M(x,y)，C(1,y₀)，∵=，∴=           (2’)

又A、M、C三點一線，∴=       ②                    (4’)

由(1)、(2)消去y₀，得x²+4y²=1(y≠0)                          (6’)

   

(2)P(0, )是軌跡M短軸端點，∴t≥0時∠PQB或∠PBQ不為銳角，∴t<0

又∠QPB為銳角，∴·>0，∴(t,- )(1,- )=t+ >0，∴- <t<0         (12’)