Question

一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2，圓心角為（180

3

）°的扇形，用經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面截圓錐，當(dāng)截面面積最大時(shí)，求：
（1）最大截面面積．
（2）截面與底面所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的截面為VAB，過底面圓心O作OD⊥AB于D，并設(shè)OD=x（0≤x＜

3

），求出截面面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)知識求出最大截面面積．
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，在Rt△VDO中求出截面與底面所成銳二面角的大�。�

解答：解：（1）由已知得，圓錐底面半徑r=

3

，h=1，如圖，
設(shè)過圓錐頂點(diǎn)的截面為VAB，過底面圓心O作OD⊥AB于D，
并設(shè)OD=x（0≤x＜

3

），
則VD=

1+x2

，DA=

3-x2

，所以截面VAB的面積
S=

(1+x2)(3-x2)

=

-(x2-1)2+4

，故當(dāng)x=1時(shí)，S最大為2（5分）
（2）由（1）得，OD⊥AB，VD⊥AB，所以，∠VDO就是二面角V-AB-O的平面角，
即截面與底面所成銳二面角的平面角，由（1）知在Rt△VDO中，VO=OD=1，
所以∠VDO=45°．

點(diǎn)評：本題是中檔題，通過轉(zhuǎn)化求出截面面積表達(dá)式，利用函數(shù)的最值思想，求出最值是本題的難點(diǎn)；考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，�？碱}型．