Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，E為棱DD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）判斷BD₁和過A，C，E三點(diǎn)的平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（II）求△ACE的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理即可證明；
（Ⅱ）先說(shuō)明EO是三角形邊AC上的高，進(jìn)而利用三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答：解：（Ⅰ）BD₁∥平面ACE．
下面證明：如圖所示，連接BD與AC相較于點(diǎn)O，連接EO．
∵DO=OB，DE=ED₁，
∴EO∥BD₁，
∵EO?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．
（Ⅱ）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，
∴AC=2

2

，EO=

ED2+DO2

=

12+( 2 )2

=

3

．
∵EA=EC，AO=OC，∴EO⊥AC．
∴S△ACE=

1

2

×AC×EO=

1

2

×2

2

×

3

=

6

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面平行的判定定理是解題的關(guān)鍵．