Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域上單調遞增．當x∈[1-a，+∞）時，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

(-∞，

1

2

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調性，可將x∈[1-a，+∞）時，不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，轉化為x＞a恒成立，將恒成立問題轉化為最值問題，易得實數(shù)a的取值范圍

解答：解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
且不等式f（x-2a）+f（x）＞0當x∈[1-a，+∞）時恒成立，
∴f（x-2a）＞f（-x）當x∈[1-a，+∞）時恒成立
又∵函數(shù)f（x）在定義域上單調遞增．
∴x-2a＞-x，即x＞a當x∈[1-a，+∞）時恒成立
即1-a＞a，解得a＜

1

2

∴實數(shù)a的取值范圍是(-∞，

1

2

)
故答案為：(-∞，

1

2

)

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合，其中利用函數(shù)的性質，將已知中的不等式f（x-2a）+f（x）＞0恒成立，轉化為x＞a恒成立，是解答的關鍵．