Question

在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，若b=

3

，則a+c的最大值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．3
• C．2

  3

• D．9

Answer 1

分析：由等差中項的定義得2bcosB=acosC+ccosA，結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），利用誘導(dǎo)公式化簡得cosB=

1

2

．根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，結(jié)合b=

3

化簡得（a+c）²=3+3ac，再利用基本不等式加以計算，可得當(dāng)a=c=

3

時，a+c的最大值為2

3

．

解答：解：∵在△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，即2bcosB=acosC+ccosA，
∴根據(jù)正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）．
又∵△ABC中，sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB＞0
∴2sinBcosB=sinB，兩邊約去sinB得2cosB=1，即cosB=

1

2

，
根據(jù)余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∵b=

3

，∴a²+c²-ac=3，可得（a+c）²=3+3ac．
根據(jù)基本不等式，得ac≤[

1

2

(a+b)]2，
∴（a+c）²=3+3ac≤3+

3

4

（a+b）²，解之得（a+c）²≤12．
由此可得當(dāng)且僅當(dāng)a=c=

3

時，a+c的最大值為2

3

．
故選：C

點評：本題給出△ABC滿足的邊角關(guān)系式，在已知邊b長的情況下求a+c的最大值，著重考查了正余弦定理、兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式、利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．