Question

【題目】設(shè)，，是橢圓的左，右焦點，直線與橢圓相交于，兩點

（1）若線段的中點為，求直線的方程；

（2）若直線過橢圓的左焦點，，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）點A、B的坐標代入橢圓方程，兩式相減得到等式①，利用中點坐標可得代入①式可化簡求出直線的斜率k，即可求出直線的點斜式方程，化簡即可；

（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程，韋達定理求出、，由得，列出等式化簡得，求出點到直線AB的距離及，代入即可求得的面積.

（1）由橢圓的對稱性知直線的斜率存在，設(shè)，

因為A、B在橢圓上，所以，，

兩式相減可得①，

因為為線段AB的中點，所以，

代入①式可得，即，

因為點在直線，直線l的方程為，

即；

（2）橢圓的右焦點，設(shè)直線l的方程為，

聯(lián)立，，

所以，

因為，所以，即，

，所以，，

點到直線AB的距離為，

，

所以的面積為.