【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，
和
均為邊長為
的等邊三角形.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見證明；(2) 
【解析】
(1) 取
的中點
，連接
，要證平面
平面
，轉(zhuǎn)證
平面，即證
，
即可；(2) 以為坐標原點，以
為
軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面
與平面
的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.
（1）取的中點，連接，
因為
均為邊長為
的等邊三角形，
所以
，，且
因為
，所以
，所以，
又因為
，
平面，
平面，
所以平面.
又因為
平面，所以平面平面.
（2）因為
，
為等邊三角形，
所以
，又因為
，所以
，
，
在
中，由正弦定理，得：
，所以
.
以為坐標原點，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
設(shè)平面的法向量為
，
則
，即
，
令
，則平面的一個法向量為
，
依題意，平面的一個法向量
所以
故二面角
的余弦值為.
華東師大版一課一練系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若從裝有
個紅球和個黑球的口袋內(nèi)任取個球，則下列為互斥的兩個事件是( )
A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“一個紅球也沒有”與“都是黑球”
C.“至少有一個紅球”與“都是紅球”D.“恰有
個黑球”與“恰有個黑球”
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨著移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展，與餐飲美食相關(guān)的手機APP軟件層出不窮.現(xiàn)從某市使用A和B兩款訂餐軟件的商家中分別隨機抽取100個商家，對它們的“平均送達時間”進行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如下.
（1）已知抽取的100個使用A款訂餐軟件的商家中，甲商家的“平均送達時間”為18分鐘。現(xiàn)從使用A款訂餐軟件的商家中“平均送達時間”不超過20分鐘的商家中隨機抽取3個商家進行市場調(diào)研，求甲商家被抽到的概率；
（2）試估計該市使用A款訂餐軟件的商家的“平均送達時間”的眾數(shù)及平均數(shù)；
（3）如果以“平均送達時間”的平均數(shù)作為決策依據(jù)，從A和B兩款訂餐軟件中選擇一款訂餐，你會選擇哪款？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】首屆世界低碳經(jīng)濟大會近日召開，本屆大會的主題為“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”.某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為
噸，最多為
噸，月處理成本
（元）與月處理量
（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為
，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為
元.
（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】我國古代數(shù)學典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為1200尺，則需要幾天時間才能打穿（結(jié)果取整數(shù)）（ ）
A.12B.11C.10D.9
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某養(yǎng)雞場有2500只雞準備對外出售從中隨機抽取了一部分雞，根據(jù)它們的質(zhì)量(單位:
)，繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）圖①中
的值為___________；
（2）統(tǒng)計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計這2500只雞中，質(zhì)量為
的約有多少只?
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，我們說球 A 是指該球的球心點 A．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為 1 的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，解決下列問題：
(1) 如圖，設(shè)母球 A 的位置為 (0， 0)，目標球 B 的位置為 (4， 0)，要使目標球 B 向 C(8， -4) 處運動，求母球 A 球心運動的直線方程；
(2)如圖，若母球 A 的位置為 (0， -2)，目標球 B 的位置為 (4， 0)，能否讓母球 A 擊打目標 B 球后，使目標 B 球向 (8，－4) 處運動?
(3)若 A 的位置為 (0，a) 時，使得母球 A 擊打目標球 B 時，目標球 B(4
， 0) 運動方向可以碰到目標球 C(7，-5)，求 a 的最小值（只需要寫出結(jié)果即可）
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