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    （理科做）
    閱讀下面題目的解法，再根據(jù)要求解決后面的問題．
    閱讀題目：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
    注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
    即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    （其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
    問題：（1）請(qǐng)用這個(gè)不等式證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，x，y，不等式
    a2
    x
    +
    b2
    y
    ≥
    (a+b)2
    x+y
    成立．
    （2）用（1）中的不等式求函數(shù)y=
    2
    x
    +
    9
    1-2x
    (0＜x＜
    1
    2
    )    的最小值，并指出此時(shí)x的值．
    （3）根據(jù)閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進(jìn)行推廣，得到一個(gè)更一般的不等式，并用構(gòu)造函數(shù)的方法對(duì)你的推廣進(jìn)行證明．
    			
    


			
    

		
    
		
		
	
    
		
    
			
    
				
    
				
    分析：（1）不等式兩邊同乘x+y，然后利用已知條件，證明不等式，再轉(zhuǎn)化為所求證的不等式即可．
    （2）直接利用（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22），求出函數(shù)的最小值即可．
    （3）可將不等式推廣到n元的情形，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，不等式（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）成立．證明如下：設(shè)f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）．注意到f（x）≥0，所以△≤0，推出要證明的結(jié)論．
    解答：證明：（1）因?yàn)槎际莂，b，x，y正實(shí)數(shù)，由已知不等式得(x+y)(
    a2
    x
    +
    b2
    y
    )=[(
    		x
    )2+(
    		y
    )2][(
    a
    		x
    )2+(
    b
    		y
    )2]≥(
    		x
    •
    a
    		x
    +
    		y
    •
    b
    		y
    )2=(a+b)2    ，（2分）
    所以不等式
    a2
    x
    +
    b2
    y
    ≥
    (a+b)2
    x+y
    成立．
    （其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)
    		x
    •
    b
    		y
    =
    		y
    •
    a
    		x
    ，即ay=bx．）…（4分）
    解：2）因?yàn)?span id="35hkddj"    class="MathJye">0＜x＜
    1
    2
    ，所以y=
    2
    x
    +
    9
    1-2x
    =
    22
    2x
    +
    32
    1-2x
    ≥
    (2+3)2
    2x+(1-2x)
    =25    …（7分）
    （其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)2（1-2x）=3•2x即x=
    1
    5
    ∈(0，
    1
    2
    )    ．
    所以函數(shù)y=
    2
    x
    +
    9
    1-2x
    (0＜x＜
    1
    2
    )    有最小值25，此時(shí)x=
    1
    5
    ．…（10分）
    解：（3）可將不等式推廣到n元的情形，即
    對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，
    不等式（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）成立．…（13分）
    證明如下：
    設(shè)f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2+…+（anx+bn）2=（a12+a22+…+an2）x2+2（a1b1+a2b2+…+anbn）x+（b12+b22+…+bn2）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2+…+anbn）]2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，
    即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）．…（15分）
    其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=…=anx+bn=0，
    即aibj=ajbi（i，j=1，2，…，n，i≠j）．…（16分）
    點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查不等式的證明與應(yīng)用，不等式求函數(shù)的最值，考查選上的閱讀能力，知識(shí)的應(yīng)用能力，邏輯推理能力．
    				
    
							
    
			
    
			
    
			
			
    
		
    
	
    

		
    

		





			
    
		
    
		
				
    
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
    
		
				
			

					
    
				相關(guān)習(xí)題
			
    
						
		
    
			
    
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
    

						
    設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．
    （1）求數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1與遞推關(guān)系式：an+1=f（an）；
    （2）先閱讀下面定理：“若數(shù)列{an}有遞推關(guān)系an+1=Aan+B，其中A、B為常數(shù)，且A≠1，B≠0，則數(shù)列{an-
    B1-A
    }    是以A為公比的等比數(shù)列．”請(qǐng)你在第（1）題的基礎(chǔ)上應(yīng)用本定理，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
    （3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：閱讀理解
			
    

						
    閱讀下面一段文字：已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=2，則易知通項(xiàng)an=2n-1，前n項(xiàng)的和Sn=n2．將此命題中的“等號(hào)”改為“大于號(hào)”，我們得到：數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．這種從“等”到“不等”的類比很有趣．由此還可以思考：要證Sn＞n2，可以先證an＞2n-1，而要證an＞2n-1，只需證an-an-1＞2（n≥2）．結(jié)合以上思想方法，完成下題：
    已知函數(shù)f（x）=x3+1，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an），若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn≥2n-1．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：解答題
			
    

						
    （理科做）
    閱讀下面題目的解法，再根據(jù)要求解決后面的問題．
    閱讀題目：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a1，a2，b1，b2，證明不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．
    注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2-4（a12+a22）（b12+b22）≤0，
    即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．
    （其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）
    問題：（1）請(qǐng)用這個(gè)不等式證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)a，b，x，y，不等式數(shù)學(xué)公式成立．
    （2）用（1）中的不等式求函數(shù)數(shù)學(xué)公式的最小值，并指出此時(shí)x的值．
    （3）根據(jù)閱讀題目的證明，將不等式（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）進(jìn)行推廣，得到一個(gè)更一般的不等式，并用構(gòu)造函數(shù)的方法對(duì)你的推廣進(jìn)行證明．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：閱讀理解
			
    

						
    （本小題滿分12分）
      
    閱讀下面內(nèi)容，思考后做兩道小題。
      
    在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師給出一道題，讓同學(xué)們先解，題目是這樣的：
      
    已知函數(shù)f(x)=kx+b，1≤f(1)≤3，－1≤f(－1)≤1，求Z=f(2)的取值范圍。
      
    題目給出后，同學(xué)們馬上投入緊張的解答中，結(jié)果很快出來了，大家解出的結(jié)果有很多個(gè)，下面是其中甲、乙兩個(gè)同學(xué)的解法：
      
    甲同學(xué)的解法：由f(1)=k+b，f(－1)=－k+b得
      
    ①+②得：0≤2b≤4，即0≤b≤2               ③
      
    ② ×(－1)+①得：－1≤k－b≤1             ④
      
    ④+②得：0≤2k≤4                                               ⑤
      
    ③+⑤得：0≤2k+b≤6。
      
    又∵f(2)=2k+b
      
    ∴0≤f(2)≤6，0≤Z≤6
      
          乙同學(xué)的解法是：由f(1)=k+b，f(－1)=－k+b得
      
    ①+②得：0≤2b≤4，即：0≤b≤2                        ③
      
    ①－②得：2≤2k≤2，即：1≤k≤1
      
    ∴k=1，
      
    ∵f(2)=2k+b=1+b
      
    由③得：1≤f(2)≤3
      
    ∴：1≤Z≤3
      
    （Ⅰ）如果課堂上老師讓你對(duì)甲、乙兩同學(xué)的解法給以評(píng)價(jià)，你如何評(píng)價(jià)？
      
    （Ⅱ）請(qǐng)你利用線性規(guī)劃方面的知識(shí)，再寫出一種解法。
    

			
    

			
    
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