Question

如圖，A為橢圓

x2

a2

+

y2

b1

=1（a＞b＞0）上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂，當AC垂直于x軸時，恰好有AF₁：AF₂=3：1．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)

AF1

=λ₁

F1B

，

AF2

=λ₂

F2C

．
①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ₁+λ₂的值；
②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ₁+λ₂否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)|AF₁|=m，則|AF₂|=3m根據(jù)題設(shè)及橢圓定義得方程組聯(lián)立消去m求得a²=2c²，離心率可得．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），分別表示出

AF1

和

F 1

B，根據(jù)

AF1

=λ₁

F1B

求得x₁和y₁的表達式代入x₁²+2y₁²=2c²中再與x₀²+2y₀²=2c²相減求得2x₀=cλ₁-3c同理根據(jù)

AF2

=λ₂

F2C

求得2x₀=-cλ₂+3c兩式相見即可求得λ₁+λ₂=6．說明λ₁+λ₂為定值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)|AF₁|=m，則|AF₂|=3m．
由題設(shè)及橢圓定義得

(3m)2-m2=4c2 3m+m=2a

，
消去m得a²=2c²，所以離心率

2

2

．
（Ⅱ）設(shè)A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則

AF1

=（-C-x₀，-y₀），

F 1

B=（x₁+C，y₁）
∵

AF1

=λ₁

F1B

，∴x₁=-

c+x0

λ1

-c，y₁=-

y0

λ1

又x₀²+2y₀²=2c²①，x₁²+2y₁²=2c²②，
將x₁，y₁代入②得：
（

c+x0

λ1

+c）²+2（

y0

λ1

）²=2c²即（c+x₀+cλ₁）²=2y²₀=2λ₁c²③；
③-①得：2x₀=cλ₁-3c；
同理：由

AF2

=λ₂

F2C

．得2x₀=-cλ₂+3c；
∴cλ₁-3c=-cλ₂+3c，
∴λ₁+λ₂=6．

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及了橢圓的基本性質(zhì)和利用向量的運算解決橢圓與直線的關(guān)系的問題，要求學生具有對知識的綜合、整合的能力．