Question

【題目】如圖1，在矩形中，，，為的中點，為中點．將沿折起到，使得平面平面（如圖2）．

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在線段上是否存在點，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）先證明平面．再證明.(2) 以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系（如圖）,利用向量法求直線與平面所成角的正弦值.(3) 假設在線段上存在點，使得平面.設，且，根據(jù)平面求得，所以當時，平面．

（1）由已知，

因為為中點，所以．

因為平面平面，且平面平面，

平面，所以平面．

又因為平面，所以．

（2）設為線段上靠近點的四等分點，為中點．

由已知易得．

由（1）可知，平面，

所以，.

以為原點，所在直線分別為軸

建立空間直角坐標系（如圖）．

因為，，

所以．

設平面的一個法向量為，

因為，

所以 即

取，得．

而 .

所以直線與平面所成角的正弦值

（3）在線段上存在點，使得平面.

設，且，則，．

因為，所以，

所以，

所以，．

若平面，則.即.

由（2）可知，平面的一個法向量，

即，解得，

所以當時，平面．