Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，那么，下列關(guān)于此函數(shù)f（x）性質(zhì)的表述：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱； 
②函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
③當(dāng)x∈[-3，-2]時，f′（x）≥0； ④函數(shù)y=f（x）的圖象上橫坐標為偶數(shù)的點都是函數(shù)的極小值點．  
其中正確表述的番號是

①②④

．

Answer 1

分析：先利用賦值法證明f（1）=0，從而利用函數(shù)周期性的定義證明函數(shù)的周期性，再利用已知函數(shù)性質(zhì)證明函數(shù)的對稱性，最后利用函數(shù)的周期性和單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值即可

解答：解：令x=-1，則f（-1+2）=f（-1）+f（1），又f（-1）=f（1）
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0
∴f（x+2）=f（x）
∴函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為2，②正確；
再將上式中的x替換為x-1，得f（x+1）=f（x-1）=f（1-x）
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，①正確；
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減，
又函數(shù)的周期為2，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，-2]上單調(diào)遞減，此時f′（x）≤0，③錯誤；
∵函數(shù)f（x）在一個周期[-1，1]上有且只有一個零點x=0，且函數(shù)周期為2，∴x=0+2k，k∈Z均為函數(shù)的零點，④正確
故答案為①②④

點評：本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的抽象表達，利用抽象表達式證明函數(shù)的周期性、對稱性，利用函數(shù)的周期性證明函數(shù)的整體性質(zhì)等知識和技能