Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點（1，

3

2

），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C的左右焦點，且離心率e=

1

2

（1）求橢圓C的方程．
（2）已知A為橢圓C的左頂點，直線l過右焦點F₂與橢圓C交于M，N兩點，若AM、AN的斜率k₁，k₂滿足k1+k2=-

1

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C過點（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

，可得

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）由（1）可得：左頂點A（-2，0），右焦點（1，0）．由題意可知直線l不存在時不滿足條件，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計算公式可得k1+k2=-

1

2

，即

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=-

1

2

，代入化簡整理即可得出．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點（1，

3

2

），且離心率e=

1

2

，∴

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a=2c=2 b2=3

，∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可得：左頂點A（-2，0），右焦點（1，0）．
由題意可知直線l不存在時不滿足條件，可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．由題意可得△＞0．
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∵k1+k2=-

1

2

，∴

y1

x1+2

+

y2

x2+2

=-

1

2

，
化為2k（x₁-1）（x₂+2）+2k（x₂-1）（x₁+2）+（x₁+2）（x₂+2）=0，
整理為（4k+1）x₁x₂+（2k+2）（x₁+x₂）+4-8k=0．
代入得

(4k+1)(4k2-12)

3+4k2

+

8k2(2k+2)

3+4k2

+4-8k=0，
整理為k²-2k=0，解得k=0或2．
k=0不滿足題意，應(yīng)舍去．
故k=2，此時直線l的方程為y=2（x-1），即2x-y-2=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．