Question

某校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的實驗考查：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道，按照題目要求獨立完成全部實驗操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可通過考查．已知6道備選題中，考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．
（Ⅰ）求考生甲通過實驗考查的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩考生正確完成題數(shù)x₁，x₂的概率分布列；
（Ⅲ）試用統(tǒng)計知識分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵甲生要通過實驗考查，就要正確完成所抽取3道題中的2道或3道，
∴所求概率p=．
（Ⅱ）∵x₁=1，2，3，
=，
P（x₁=2）==，
P（x₁=3）=，
∴甲考生正確完成題數(shù)x₁的概率分布列為

x1	1	2	3
P

∵x₂=0，1，2，3，且，
P（x₂=1）==，
，
，
∴乙考生正確完成題數(shù)x₂的概率分布列為：

x2	0	1	2	3
P

（Ⅲ）∵，
Ex₂==2，
∴Ex₁=Ex₂，這表明甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的平均取值相同．

∵×=，
+，
∴Dx₁＜Dx₂，這表明x₁的取值比x₂的取值相對集中于均值2的周圍，
因此甲生的實際操作能力比乙生強．
分析：（Ⅰ）甲生要通過實驗考查，就要正確完成所抽取3道題中的2道或3道，由此能求出考生甲通過實驗考查的概率．
（Ⅱ）由x₁=1，2，3，=，P（x₁=2）==，P（x₁=3）=，由此能求出甲考生正確完成題數(shù)x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且，P（x₂=1）==，，，由此能求出乙考生正確完成題數(shù)x₂的概率分布列．
（Ⅲ）分別求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相對集中于均值2的周圍，因此甲生的實際操作能力比乙生強．
點評：本題考查概率的計算和分布列的求法，考查利用數(shù)學(xué)期望和方差分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．解題時要認真審題，注意數(shù)學(xué)期望和方差在實際問題中的靈活運用．