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    已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：
    [1] 對任意的，總有；
    [2] ；
    [3] 若，，且，則有成立，
    并且稱為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：
    (1)若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
    (2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.
    (3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且，
    求證：.
    			
    


			
    

		
    
		
		
	
    
		
    
			
    
				
    
				
    解析：（1）取得，又由，得          
    （2）顯然在上滿足[1] ；[2] .若，，且，則有
     故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數(shù).
    (3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設(shè)
    則必有：所以：
    所以：.依題意必有,
    下面用反證法證明：假設(shè)，則有或
    (1)  若，則，這與矛盾；
    (2)   若，則，這與矛盾；
         故由上述（1）、（2）證明知假設(shè)不成立，則必有，證畢. 
    				
    
							
    
			
    
			
    
			
			
    
		
    
	
    

		
    

		





			
    
		
    
		
				
    
				練習冊系列答案
		
    
		
				
			

					
    
				相關(guān)習題
			
    
						
		
    
			
    
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-
    1
    x

    （I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
    （Ⅱ）設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點，且0＜x1＜x2，若存在實數(shù)x3＞0，使得f′（x3）=
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    ．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明x1＜x3＜x2．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    若函數(shù)f（x）的定義域與值域都為同一區(qū)間D，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“同勢”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=x2-2x+1是區(qū)間D上的“同勢”函數(shù)，則此區(qū)間可以是
    [0，
    3+
    		5
    2
    ]或[0，1]或[
    3+
    		5
    2
    ，+∞)等
    [0，
    3+
    		5
    2
    ]或[0，1]或[
    3+
    		5
    2
    ，+∞)等
    ．（只要寫出一個你認為正確的區(qū)間即可）
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足f（x）≤g（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=lnx，g（x）=1-
    1
    x
    ．
    （1）試探求f（x）與g（x）是否存在“左同旁切線”，若存在，請求出左同旁切線方程；若不存在，請說明理由．
    （2）設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點，0＜x1＜x2，且存在實數(shù)x3＞0，使得f（x3）=
    f(x2)-f(x1)
    x2-x1
    ，證明：x1＜x3＜x2．
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2011-2012學年河南省豫東、豫北十所名校高三測試理科數(shù)學試卷（解析版）
				題型：解答題
			
    

						
    定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx +b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y=kx +b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知
    


        （I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
    


        （Ⅱ）設(shè)P（是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點，且0<x1<x2，若存在實數(shù)x3>0，使得．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明：
    


     
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：解答題
			
    

						
    定義：已知函數(shù)f（x）與g（x），若存在一條直線y=kx+b，使得對公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)均滿足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等號在公共點處成立，則稱直線y=kx+b為曲線f（x）與g（x）的“左同旁切線”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-數(shù)學公式
    （I）證明：直線y=x-l是f（x）與g（x）的“左同旁切線”；
    （Ⅱ）設(shè)P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是函數(shù) f（x）圖象上任意兩點，且0＜x1＜x2，若存在實數(shù)x3＞0，使得f′（x3）=數(shù)學公式．請結(jié)合（I）中的結(jié)論證明x1＜x3＜x2．
    

			
    

			
    
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    同步練習冊答案