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				已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數(shù),若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.? 
    (1)求證:函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù);
    (2)求證:當x1＞0,x2＞0時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
    (3)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立,求證:ln22+ln32+ln42+…+)2ln(n+1)2＞(n∈N*).
    			
    


			
    

		
    
		
		
	
    
		
    
			
    
				
    
				
    證明:(1)由g(x)=,對g(x)求導數(shù)知g′(x)= .          ?
    由xf′(x)＞f(x)可知:g′(x)＞0在x＞0時恒成立.??
    從而g(x)= 在x＞0時是單調(diào)遞增函數(shù).                                                           ?
    (2)由(1)知g(x)= 在x＞0時是增函數(shù).?
    在x1＞0,x2＞0時,＞,＞ .                                       ?
    于是f(x1)＜f(x1+x2),f(x2)＜f(x1+x2).??
    兩式相加得到f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2).                                                                          ?
    (3)由(2)可知g(x)=在x＞0上單調(diào)遞增時,有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)(x1＞0,x2＞0)恒成立.
    由數(shù)學歸納法可知xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,?
    有f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)恒成立.?
    設(shè)f(x)=xlnx,則在xi＞0(i=1,2,3,…,n)時,?
    有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)(n≥2)                      ①?
    恒成立.                                                                                                                   ?
    令xn=,記Sn=x1+x2+…+xn=++…+.?
    由Sn＜++…+=1-.?
    Sn＞++…+=-.?
    (x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+x3+…+xn)＜(x1+x2+…+xn)ln(1-)＜-(x1+x2+…+xn)
    （∵ln(1+x)＜x)＜-( -)=-.                                        ②
    則②代入①中,可知ln+ln+…+ln＜-.?
    于是ln22+ln32+…+ln(n+1)2＞.
    				
    
							
    
			
    
			
    
			
			
    
		
    
	
    

		
    

		





			
    
		
    
		
				
    
				練習冊系列答案
		
    
		
				
			

					
    
				相關(guān)習題
			
    
						
		
    
			
    
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.
    (Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；
    (Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)；
    (Ⅲ)已知不等式ln(1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    已知函數(shù)f(x)是在(0,+∞)上每一點處均可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.
    (Ⅰ)求證：函數(shù)g(x)=在(0,+∞)上是增函數(shù)；
    (Ⅱ)求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
    (Ⅲ)求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    已知函數(shù)f(x)是在（0，+∞）上每一點處均可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立.
    （Ⅰ）求證：函數(shù)g(x)=在（0，+∞）上是增函數(shù)；
    （Ⅱ）求證：當x1＞0,x2＞0時，有f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2);
    （Ⅲ）已知不等式ln（1+x)＜x在x＞-1且x≠0時恒成立，求證：ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2＞(n∈N*).
    

			
    

			
    
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
    

						
    已知函數(shù)f(x)是在(0，+∞)上處處可導的函數(shù)，若xf′(x)＞f(x)在x＞0時恒成立．
    (1)求證：函數(shù)g(x)=在(0，+∞)上單調(diào)遞增；
    (2)求證：當x1＞0，x2＞0時，f(x1+x2)＞f(x1)+f(x2)．
    

			
    

			
    
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