Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），若當x∈[0，2]時，f（x）=lg（x+1），則有（　　）

• A．f(1)＞f(-

  3

  2

  )＞f(

  7

  2

  )
• B．f(-

  3

  2

  )＞f(

  7

  2

  )＞f(1)
• C．f(-

  3

  2

  )＞f(1)＞f(

  7

  2

  )
• D．f(

  7

  2

  )＞f(1)＞f(-

  3

  2

  )

Answer 1

分析：由題意求得f（x）是周期等于4的周期函數(shù)，畫出函數(shù)f（x）在一個周期[-2，2]上的圖象，根據(jù)f（-

3

2

）=f（

3

2

），f（

7

2

）=f（

1

2

），利用函數(shù)的單調(diào)性求得f(-

3

2

)＞f(1)＞f(

7

2

)

解答：解：函數(shù)f（x）對于任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），故f（x）是周期等于4的周期函數(shù)．
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，x∈[0，2]時，f（x）=lg（x+1），故函數(shù)f（x）在一個周期[-2，2]上的圖象如圖所示：
∴f（x）[-2，0]上是減函數(shù)，在[0，2]上是增函數(shù)．
再由f（-

3

2

）=f（

3

2

），f（

7

2

）=f（-

7

2

）=f（-

7

2

+4）=f（

1

2

），

1

2

＜1＜

3

2

，∴f（

1

2

）＜f（1）＜f（

3

2

），
∴f(-

3

2

)＞f(1)＞f(

7

2

)，
故選C．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．