Question

【題目】已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)且.

（1）求的值；

（2）過點(diǎn)作不垂直于軸的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在一點(diǎn)，使得軸總是平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；點(diǎn).

【解析】

（1）聯(lián)立和，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，表示出，代入可解.

（2）先討論直線斜率不存在的情況，此時(shí)顯然存在這樣的點(diǎn)；直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理表示，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由軸總是平分，得到，表示出代入上式即可求解.

解：（1）根據(jù)條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由可得.

設(shè)，，則，.

根據(jù)點(diǎn)，在拋物線上可得.

則，

∴.

（2）由（1）可知拋物線的方程為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸上的除外的任一點(diǎn)均滿足使軸平分.

當(dāng)斜率存在時(shí)，由題可設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立消去得，

∴，.

假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使得軸平分，則，

∴，∴.

又，，∴.

把（*）式代入上式化簡得，∴，

∴點(diǎn).

綜上可知，在軸上存在一點(diǎn)，使得軸總是平分.