Question

首項為正數(shù)的數(shù)列{}滿足。

(Ⅰ)證明：若 為奇數(shù)，則對一切 ， 都是奇數(shù)；

(Ⅱ)若對一切，都有，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）或。

解析:

（I）證明：已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，

則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。

根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何，都是奇數(shù)。

（II）（方法一）由知，當且僅當或。

另一方面，若則；若，則

根據(jù)數(shù)學歸納法，

綜合所述，對一切都有的充要條件是或。

（方法二）由得于是或。

因為所以所有的均大于0，因此與同號。

根據(jù)數(shù)學歸納法，，與同號。

因此，對一切都有的充要條件是或。