Question

過(guò)點(diǎn)的直線交直線于，過(guò)點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)設(shè)直線l與相交于不同的兩點(diǎn)、，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,0)，點(diǎn)Q(0，)在線段的垂直平分線上且≤4，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2)綜上所述，且≠0.

【解析】

試題分析：(1)由題意，直線的方程是，∵，∴的方程是

若直線與軸重合，則，若直線不與重合，可求得直線的方程是，與的方程聯(lián)立消去得，因不經(jīng)過(guò)，故動(dòng)點(diǎn)動(dòng)的軌跡的方程是 6分

(2)設(shè)(x₁，y₁)，直線l的方程為y＝k(x＋2)于是、兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 由方程消去y并整理得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0由－2x₁＝得x₁＝，從而y₁＝設(shè)線段的中點(diǎn)為N，則N(，) 8分

以下分兩種情況：①當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，線段的垂直平分線為y軸，

于是，由≤4得：.

②當(dāng)k≠0時(shí)，線段的垂直平分線方程為 y－＝－(x＋)令x＝0，

得m＝∵，∴，

由＝－2x₁－m(y₁－m)＝＋ (＋)＝≤4

解得∴m＝＝  11分

∴當(dāng)

當(dāng)時(shí)，≥4

∴

綜上所述，且≠0.…13分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：難題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（1）求橢圓方程時(shí)，應(yīng)用了參數(shù)法，并對(duì)可能的情況進(jìn)行了討論。（2）則在應(yīng)用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上，將m用k表示，并利用均值定理，逐步求得m的范圍。