Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是CD、A₁D₁中點
（1）求證：AE⊥BF；
（2）求證：AB₁⊥BF；
（3）棱CC₁上是否存在點P，使BF⊥平面AEP，若存在，確定點P位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取AD中點G，連接FG、BG，通過證明FG⊥AE，AE⊥BG，BG∩FG=G，證明AE⊥平面BFG，說明AE⊥BF．
（2）連A₁B，證明AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BF，AE∩AB₁=A，證明BF⊥平面AB₁E．（8分）
（3）存在，取CC₁中點P，連接EP、C₁D說明AP?平面AB₁E，由（2）知BF⊥平面AB₁E，推出AP⊥BF．
方法2：（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體棱長為2a，證明

BF

•

AE

=-2a2+2a2+0=0，

BF

⊥

AE

，得到AE⊥BF．
（2）利用

BF

•

AB1

=0，

BF

⊥

AB1

，∴BF⊥AB₁，且AB₁∩AE=A，說明BF⊥平面AB₁E．
（3）設(shè)點P（2a，2a，z），0≤z≤2a，則

AP

=（2a，2a，z），若AP⊥BF，

BF

•

AP

=-4a2+2a2+2az=0，
求出z得到P（2a，2a，c），即點P在CC₁中點處．

解答：（1）證明：取AD中點G，連接FG、BG，
則FG⊥AE，
又∵△BAG≌△ADE，∴∠ABG=∠DAE，
∴AE⊥BG，又∵BG∩FG=G，
∴AE⊥平面BFG，
∴AE⊥BF．（8分）
（2）證明：連A₁B，則AB₁⊥A₁B，
又AB₁⊥A₁F，∴AB₁⊥平面A₁BF，
∴AB₁⊥BF，
又AE∩AB₁=A，
∴BF⊥平面AB₁E．（8分）
（3）存在，取CC₁中點P，即為所求，
連接EP、C₁D
∵EP∥C₁D，C₁D∥AB₁，
∴EP∥AB₁，∴AP?平面AB₁E，
由（2）知BF⊥平面AB₁E，∴AP⊥BF．（12分）
方法2：
（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體棱長為2a，則
A（0，0，0），B（2a，0，0），B₁（2a，0，2a），E（a，2a，0），
F（0，a，2a），
∴

BF

=(-2a，a，2a)，

AB1

=(2a，0，2a)，

AE

=(a，2a，0)
∴

BF

•

AE

=-2a2+2a2+0=0，
∴

BF

⊥

AE

，∴AE⊥BF．（4分）
（2）∵

BF

•

AB1

=-4a²+0+4a²=0，
∴

BF

⊥

AB1

，∴BF⊥AB₁，且AB₁∩AE=A，
∴BF⊥平面AB₁E．（8分）
（3）設(shè)點P（2a，2a，z），0≤z≤2a，則

AP

=(2a，2a，z)，
若AP⊥BF，

BF

•

AP

=-4a2+2a2+2az=0，
∴z=a，∴P（2a，2a，c），即點P在CC₁中點處．（12分）

點評：本小題考查空間線面、線線垂直的判定及互相轉(zhuǎn)化，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．