Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

(x-a)2

x

，其中a∈R．
（I）當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞4時(shí)，是否存在k∈（1，2]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對(duì)任意x∈R恒成立？若存在，求出k的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（ I）先求f′（x）=0的值，發(fā)現(xiàn)需要討論a的正負(fù)，分別判定在f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，求出極值；
（ II）由（ I）可知當(dāng)a＞4時(shí)f（x）為單調(diào)函數(shù)，利用單調(diào)性直接轉(zhuǎn)化為k-cosx≤k²-cos²x恒成立，分離參數(shù)求解即可．

解答：解：（ I）f(x)=

(x-a)2

x

，f′(x)=

x2-a2

x2

．
令f′（x）=0，解得x=-a或x=a． 由于a≠0，對(duì)定義域（-∞，0）∪（0，+∞）分以下兩種情況討論．
（1）若a＞0，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的正負(fù)如下表：

x	（-∞，-a）	-a	（-a，0）	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+

因此，函數(shù)f（x）在x=-a處取得極大值f（-a），且f（-a）=-4a；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）的正負(fù)如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，0）	（0，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+

因此，函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0；
函數(shù)f（x）在x=-a處取得極小值f（-a），且f（-a）=-4a．
（ II）當(dāng)k∈（1，2]時(shí)，0＜k-cosx≤3，0＜k²-cos²x≤4．
由（ I）知，：由a＞4，f（x）在（0，a）上是減函數(shù)，故f（x）在（0，4）上是減函數(shù)，
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R，只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
設(shè)g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，則函數(shù)g（x）在R上的最大值為2．
要使①式恒成立，必須k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．                
所以，在區(qū)間k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式對(duì)任意的x∈R恒成立

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法．