Question

設(shè)A、B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且|

AB

|=

20

，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=

OA

+

OB

，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，求軌跡C的方程．

Answer 1

分析：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A，B兩點(diǎn)在直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上，且|

AB

|=

20

，列出關(guān)于A，B的橫坐標(biāo)的關(guān)系式，再由

OP

=

OA

+

OB

，把P點(diǎn)的坐標(biāo)都用A，B的橫坐標(biāo)表示，整體代換后即可得到P點(diǎn)的軌跡C的方程．

解答：解：設(shè)P（x，y），因?yàn)锳，B分別是直線y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的點(diǎn)，
故可設(shè)A(x1，

2 5

5

x1)，B(x2-

2 5

5

x2)，
又|

AB

|=

20

，所以(x1-x2)2+

4

5

(x1+x2)2=20①，
因?yàn)?span id="5zv84d1" class="MathJye">

OP

=

OA

+

OB

，所以有

x=x1+x2 y= 2 5 5 (x1-x2)

，即

x1+x2=x x1-x2= 5 2 y

．
代入①得：

5

4

y2+

4

5

x2=20，即曲線C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評：本題考查了曲線與方程，考查了整體運(yùn)算思想，訓(xùn)練了代入法，解答該題的關(guān)鍵是由已知列出A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，是中檔題．