Question

（2009•聊城一模）如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁=2．
（Ⅰ）求證：B₁B∥平面D₁AC；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖，分別求出直線B₁B和直線D₁E的方向向量，判定兩直線平行后，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得B₁B∥平面D₁AC；
（ II）分別求出平面AB₁D₁的法向量和平面D₁AC的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：解：以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖，
則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（1，0，2），
B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），D₁（0，0，2）．…（3分）
（Ⅰ）證明：設(shè)AC∩BD=E，連接D₁、E，
則有E(1，1，0)，

D1E

=

B1B

=(1，1，-2)，
所以B₁B∥D₁E，
∵BB?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
∴B₁B∥平面D₁AC；…（6分）
（ II）

D1B1

=(1，1，0)，

D1A

=(2，0，-2)，
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面AB₁D₁的法向量，

n

•

B1D1

=x+y=0，

n

•

D1A

=2x-2z=0．
于是令x=1，則y=-1，z=1．
則

n

=(1，-1，1)…（8分）
同理可以求得平面D₁AC的一個(gè)法向量

m

=(1，1，1)，…（10分）
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3

．
∴二面角B₁-AD₁-C的余弦值為

1

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將線面關(guān)系及二面角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題是解答本題的關(guān)鍵．