Question

已知圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，直線l：（m+1）x-y-2m-3=0（m∈R）
（1）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，直線恒與圓交于兩點(diǎn)；
（2）求直線l被圓C所截得的弦長最小時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析：（1）將直線l解析式變形得到直線l恒過（2，-1），再判斷出此點(diǎn)在圓C內(nèi)部，即可得到直線與圓相交，即直線恒與圓交于兩點(diǎn)，得證；
（2）由垂徑定理：（

a

2

）²=r²-d²（a表示弦長，r表示半徑，d表示圓心到直線的距離），當(dāng)d越大的時(shí)候，弦長a越小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)l⊥CA時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長最小，根據(jù)A與C坐標(biāo)求出直線AC斜率，進(jìn)而求出直線l斜率，即可確定出此時(shí)直線l的方程．

解答：解：（1）∵l：m（x-2）+（x-y-3）=0，
∴直線l恒過

x-2=0 x-y-3=0

的交點(diǎn)，即（2，-1），
將點(diǎn)（2，-1）代入圓C的方程得（2-1）²+（-1+2）²=2＜9，
∴點(diǎn)（2，-1）在圓內(nèi)，
∴無論m取什么值，直線恒與圓相交；
（2）由垂徑定理：（

a

2

）²=r²-d²（a表示弦長，r表示半徑，d表示圓心到直線的距離），
當(dāng)d越大的時(shí)候，弦長a越小，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)l⊥CA時(shí)，直線l被圓C所截得的弦長最小，
∵A（2，-1），C（1，-2），
∴k_CA=1，
∴k_l=-1，
∴直線l的方程為y=-（x-2）-1，即x+y-1=0．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系由d與r大小來判斷，當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切（其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑）．