Question

某校選派4人參加上級組織的數(shù)學競賽，現(xiàn)從甲、乙兩個競賽班各選派2人．設(shè)甲、乙兩班選派的人員獲獎概率分別為

2

3

和

1

2

，且4位選手是否獲獎互不影響．
（I）求甲、乙兩班各有1人獲獎的概率；
（II）求該校獲獎人數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：（I）利用獨立重復試驗的事件A發(fā)生k次的概率公式求出P(Ak)=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k；P(Bi)=

C

i 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i；求出
甲、乙兩班各有1人獲獎的概率；
（II）求出ξ的所有可能值，求出ξ取每一個值的概率值，列出分布列，利用隨機變量的期望公式求出期望．

解答：解：（I）設(shè)A_k表示甲班有k人獲獎，K=0，1，2
B_i表示乙班有i人獲獎，i=0，1，2．
P(Ak)=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k；
P(Bi)=

C

i 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i；
據(jù)此算得P(A0)=

1

9

；P(A，1)=

4

9

；P(A2)=

4

9

P(B0)=

1

4

，P(B，1)=

1

2

，P(，B2)=

1

4

甲、乙兩班各有1人獲獎的概率為P(A1B1) =P(A1)P(B1) =

4

9

×

1

2

=

2

9

（II）ξ的所有可能值為0，1，2，3，4，且
P(ξ=0)=

1

9

×

1

4

=

1

36

P(ξ=1)=

1

9

×

1

2

 +

4

9

×

1

4

=

1

6

P( A0 •B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=

13

36

P(ξ=3)=

4

9

×

1

4

+ 

4

9

×

1

2

=

1

3

P(ξ=4)=

4

9

×

1

4

=

1

9

綜上知ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	1/36	1/6	13/36	1/3	1/9

從而，ξ的期望為Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

點評：求一個事件的概率，關(guān)鍵是判斷出事件的概率模型，然后選擇合適的概率公式，進行計算，要細心．