Question

已知多面體ABC-DEFG中（如圖），AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則這個多面體的體積為（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

Answer 1

【答案】分析：如圖，此多面體開關不規(guī)則，可以用分割法求體積，取DG中點M，連接CM，AM，F(xiàn)M，則這個多面體的體積可以表示為棱柱BEF-ADM與三棱錐C-FMG以及四棱錐C-ABFM的和
解答：解：取DG中點M，連接CM，AM，F(xiàn)M，則這個多面體的體積可以表示為棱柱BEF-ADM與三棱錐C-FMG以及四棱錐C-ABFM的和
由于多面體ABC-DEFG中（如圖），AB、AC、AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1
故棱柱BEF-ADM可看作是底面是直角三角形的三棱錐，其高2，底面是兩直角邊分別是1，2的三角形其體積是2××2×1=2
三棱錐C-FMG以CM為高，其長為2，底面是MF=2，MG=1為直角邊的直角三角形，其體積為×2××2×1=
由圖形知，C到AM的距離就是四棱錐C-ABFM的高，由于AM=，由等面積法可求得C到AM的距離是，底面四邊形是以AM=與AB=2為邊長的矩形，故其體積為=
這個多面體的體積為=4
故選B．
點評：本題考查組合幾何體的面積、體積問題，解答本題關鍵是根據幾何體的形狀對幾何體進行分割，變成幾個規(guī)則的幾何體的體積的和，如本題轉化為求棱柱，兩個棱錐的體積的和．分割法是求不規(guī)則幾何體的體積與面積時常用的方法．其特點是把不規(guī)則幾何體的體積用幾個規(guī)則的幾何體的體積表示出來．