Question

設(shè)a＞0，如圖，已知直線l：y=ax及曲線C：y=x²，C上的點(diǎn)Q₁的橫坐標(biāo)為a₁ （0＜a₁＜a），從C上的點(diǎn)Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點(diǎn)P_n+1，再從點(diǎn)P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)Q_n+1，Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}，
（Ⅰ）試求a_n+1與a_n的關(guān)系，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，a₁≤時(shí)，證明；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，證明。

Answer 1

（Ⅰ）解：∵，
∴，
∴

，
∴。
（Ⅱ）證明：由a=1知，
∵，
∴，
∵當(dāng)k≥1時(shí)，，
∴；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時(shí)，，
因此
。