Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于

1

3

，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為（　　）

A．x²-3y²=-2

B．x²-3y²=-2（x≠±1）

C．x²-3y²=2

D．x²-3y²=2（x≠±1）

Answer 1

分析：先利用對稱性求出點(diǎn)B（1，-1），利用直線AP與BP的斜率之積等于

1

3

，列出方程，整理即可．

解答：解：∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴B（1，-1），設(shè)P（x，y），
∵直線AP與BP的斜率之積等于

1

3

，
∴

y-1

x-(-1)

?

y-(-1)

x-1

=

1

3

，
即

y-1

x+1

?

y+1

x-1

=

y2-1

x2-1

=

1

3

，
整理得x²-3y²=-2，
∵直線AP與BP的斜率存在，∴x≠±1，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²-3y²=-2（x≠±1）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查曲線和方程的關(guān)系，利用直接法建立條件關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意直線斜率存在的條件．