Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設(shè)AC=2a，BC=a
（1）求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；
（2）求點(diǎn)A到平面VBC的距離；
（3）求二面角A-VB-C的大�。�

Answer 1

分析：（I）由題意及面面垂直平行的性質(zhì)定理，和直線與直線垂直得到線面垂直，在利用公垂線的定義即可得證；
（II）解法1：有（1）可知BC⊥平面AB₁C，且△AB₁C為正三角形，利用這些就可判斷出線段AD的長即為點(diǎn)A到平面VBC的距離；
解法2：此問還可以利用三棱錐的體積可以進(jìn)行頂點(diǎn)輪換法求出；
（III）利用三垂線定理，找到二面角的平面角，利用三角形解除二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC∵BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁
又∵平面AB₁C⊥平面ABC，平面AB₁C∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面AB₁C，
∴BC⊥AB₁
∴B₁C₁⊥AB₁，
又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC，且BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線．

（Ⅱ）解法1：過A作AD⊥B₁C于D，
∵△AB₁C為正三角形，
∴D為B₁C的中點(diǎn)．
∵BC⊥平面AB₁C
∴BC⊥AD，
又B₁C∩BC=C，
∴AD⊥平面VBC，
∴線段AD的長即為點(diǎn)A到平面VBC的距離．
在正△AB₁C中，l．
∴點(diǎn)A到平面VBC的距離為

3

a．
解法2：取AC中點(diǎn)O連接B₁O，則B₁O⊥平面ABC，且B₁O=

3

a．
由（Ⅰ）知BC⊥B₁C，設(shè)A到平面VBC的距離為x，
∴VB1-ABC=VA-BB1C，
即

1

3

×

1

2

BC•AC•B1O=

1

3

×

1

2

BC•B1C•x，
解得x=

3

a．
即A到平面VBC的距離為

3

a．
則d=||

AB1

|•cos＜

AB1

，n＞|=||

AB1

|•cos＜

AB1 •n

| AB1 |•|n|

＞|=

2 3 a

2

=

3

a．
所以，A到平面VBC的距離為

3

a．

（III）過D點(diǎn)作DH⊥VB于H，連AH，由三重線定理知AH⊥VB
∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角．
在Rt△AHD中，
DH=

B1D•BC

B1B

=

5

5

a．
∴tan∠AHD=

AD

DH

=

15

．
∴∠AHD=arctan

15

．
所以，二面角A-VB-C的大小為arctan

15

．

點(diǎn)評：（I）抓住題中條件，發(fā)揮學(xué)生的空間想象能力及理解能力，重點(diǎn)考查了面面垂直的性質(zhì)定理，還考查了面面平行的性質(zhì)及兩個異面直線間公垂線的定義；
（II）此問重點(diǎn)考查了線面垂直的判定，還在令解的方法中考查了三棱錐計算體積時常常使用頂點(diǎn)進(jìn)行輪換的方法（也是常說的等體積輪換法）
（III）此問重點(diǎn)考查了利用三垂線定理找二面角的平面角的常用方法，還考查了求角的大小的反三角函數(shù)的表示方法．