Question

已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，上是減函數(shù)，在，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+在（0，4）上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)常數(shù)b的值；
（2）設(shè)常數(shù)c∈1，4，求函數(shù)f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)函數(shù)y=x+的性質(zhì)可知=4，從而可求出b的值；
（2）討論是否在定義域內(nèi)，從而可求出函數(shù)的最小值，討論c可確定f（1）與f（2）的大小，從而求出函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）由函數(shù)y=x+的性質(zhì)知：y=x+在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)，
∴=4，∴2^b=16=2⁴，∴b=4．
（2）∵c∈（1，4），∴∈1，2．
又∵f（x）=x+在（0，）上是減函數(shù)，在（，+∞）上是增函數(shù)，
∴∈[1，2]時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取得最小值2 ．
又f（1）=1+c，f（2）=2+，
f（2）-f（1）=1-．
當(dāng)c∈（1，2）時(shí)，f（2）-f（1）＞0，f（2）＞f（1），
此時(shí)f（x）的最大值為f（2）=2+．
當(dāng)c=2時(shí)，f（2）-f（1）=0，f（2）=f（1），
此時(shí)f（x）的最大值為f（2）=f（1）=3．
當(dāng)c∈（2，4時(shí)，f（2）-f（1）＜0，f（2）＜f（1），
此時(shí)f（x）的最大值為f（1）=1+c．
綜上所述，函數(shù)f（x）的最小值為2；
當(dāng)c∈（1，2）時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為2+；
當(dāng)c=2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為3；
當(dāng)c∈（2，4）時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為1+c．
點(diǎn)評：本題主要考查了新定義，以及函數(shù)的最大值和最小值，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．