Question

已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，其中a、b為常數(shù)，則（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=    ．

Answer 1

【答案】分析：由奇偶函數(shù)的定義列出關(guān)于a、b的方程組，求出它們的和與積的值，在轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)a和b，再利用和與積的值和a³=b³=1求出a²+b²，a³+b³，a⁴+b⁴等，找出具有周期性T為3，再利用周期性求出式子的和．
解答：解：∵f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，
∴，
即 ，
解得 ；
∴復(fù)數(shù)a、b是方程x²+x+1=0的兩個(gè)根，
解得，a=-+i，b=--i；
∴a³=b³=1
已知a+b=-1，ab=1；則a²+b²=（a+b）²-2ab=-1，a³+b³=2，
同理可求a⁴+b⁴=-1，a⁵+b⁵=-1，a⁶+b⁶=2，…，歸納出有周期性且T=3，
∴（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=99[（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）]+（a+b）=-1．
故答案為：-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇（偶）函數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算，再求復(fù)數(shù)的值時(shí)用到轉(zhuǎn)化思想，求和式的值時(shí)利用a³=b³=1找出每項(xiàng)的和的周期，利用周期性求所求和式的值．